me ayudan como se hace esto dado f(x)=x3+3x demostrar que f(x+h)-f(x)=3(x2+1)h +3 xh2+h3

Tenes que calcular el termino f(x+h) que se obtiene sustituyendo en f(x) donde aparece x por x+h
 
[tex]f(x+h)= (x+h)^3 +3(x+h)[/tex]
 
Aplicando la formula notable: [tex](a+b)^3 = a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
 
Obtenemos
 
[tex]f(x+h)=x^3+3x^2h+3ah^2+h^3+3x+3h[/tex]
 
Y ahora simplemente restamos los terminos
 
[tex]f(x+h) - f(x) =x^3+3x^2h+3ah^2+h^3+3x+3h-(x^3+3x)[/tex]
 
El menos delante del parentisis le cambia los signos
 
[tex]f(x+h) - f(x) =x^3+3x^2h+3ah^2+h^3+3x+3h-x^3-3x[/tex]
 
Se cancelan unos terminos, miralo bien. 
 
[tex]f(x+h) - f(x)=3x^2h+3xh^2+h^3+3h[/tex]
 
Para finalizar agrupemos los terminos que tiene "h" es decir el primero y el ultimo
 
[tex]f(x+h) - f(x) =(3x^2h+3h)+3xh^2+h^3[/tex]
 
Saquemos a "3h" a factor comun de esa agrupacion
 
[tex]f(x+h) - f(x) =3h(x^2+1)+3xh^2+h^3[/tex]
 
y como el orden en la multiplicacion podemos acomodar como tu lo tienes en la respuesta 
 
[tex]f(x+h) - f(x) = 3(x^2+1)h+3xh^2+h^3[/tex]
 
 
     
 
 
 
 
       

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